運動量保存の法則

運動方程式

mvt=f
から、運動量の変化は
p=Ft
と書ける。ここで右辺に現れた量(力×時間)は、力積と呼ばれる。これを積分すると、
p(t)-p(t0)=t0tFt
となり、力積の総和が得られ、運動量の変化とは力積の総和に等しいことがわかる。

ここで、速度v1、v2で移動している、質量m1、m2の2物体の衝突を考える。なお、この2物体には他の力(摩擦力など)は加わっていないものとする。時間t=0で衝突、t=Tで衝突後の速度v1'、v2'になるとする。また、時間Tをn等分し、Δt=T/nとすると、i番目の時間tはtiとなり、t0=0tn=Tとなる。

運動量の変化は

m1v1(ti+1)-m1v1(ti)=F1(ti)+F1(ti+1)2Δt
となる。

力積の総和は

m1v1'-m1v1=0TF1(t)t
となり、同様にもう一方の物体も
m2v2'-m2v2=0TF2(t)t
となる。

運動の第三法則によると

F1(t)=-F2(t)
が成り立つので
m1v1'-m1v1=-(m2v2'-m2v2)
となり、式を整理して符号をそろえると
m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'
となる。

運動量p1=m1v1p2=m2v2とすると、全運動量Pは、

P=p1+p2
となり、全運動量が衝突の前と後で変わらないことを示している。これを運動量保存の法則と呼ぶ。