運動量保存の法則

運動方程式

m \frac{ⅆ v}{ⅆ t} = f

から、運動量の変化は

ⅆ p = F ⅆ t

と書ける。ここで右辺に現れた量（力×時間）は、力積と呼ばれる。これを積分すると、

p (t) - p (t_{0}) = \int_{t_{0}}^{t} F ⅆ t

となり、力積の総和が得られ、運動量の変化とは力積の総和に等しいことがわかる。

ここで、速度v₁、v₂で移動している、質量m₁、m₂の2物体の衝突を考える。なお、この2物体には他の力（摩擦力など）は加わっていないものとする。時間t=0で衝突、t=Tで衝突後の速度v₁'、v₂'になるとする。また、時間Tをn等分し、 $Δt = T / n$ とすると、i番目の時間tは $t_{i}$ となり、 $t_{0} = 0$ 、 $t_{n} = T$ となる。

運動量の変化は

m_{1} v_{1} (t_{i + 1}) - m_{1} v_{1} (t_{i}) = \frac{F_{1} (t_{i}) + F_{1} (t_{i + 1})}{2} Δt

となる。

力積の総和は

m_{1} v_{1}' - m_{1} v_{1} = \int_{0}^{T} F_{1} (t) ⅆ t

となり、同様にもう一方の物体も

m_{2} v_{2}' - m_{2} v_{2} = \int_{0}^{T} F_{2} (t) ⅆ t

となる。

運動の第三法則によると

F_{1} (t) = - F_{2} (t)

が成り立つので

m_{1} v_{1}' - m_{1} v_{1} = - (m_{2} v_{2}' - m_{2} v_{2})

となり、式を整理して符号をそろえると

m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}' + m_{2} v_{2}'

となる。

運動量 $p_{1} = m_{1} v_{1}$ 、 $p_{2} = m_{2} v_{2}$ とすると、全運動量Pは、

P = p_{1} + p_{2}

となり、全運動量が衝突の前と後で変わらないことを示している。これを運動量保存の法則と呼ぶ。