一般均衡モデル

ここでは、すべての市場は完全競争市場であり、政府部門はないものとする。

価格

市場に $N$ 種類の財が存在し、 $N$ は有限な正の整数である。 $n$ 番目の財の価格を $p_{n}$ とすると、市場に存在する $N$ 種類の財の価格は

p = (p_{1}, \dots, p_{N})

と表せる。

企業

市場に企業の数が $J$ 存在し、 $J$ は有限な正の整数である。 $n$ 番目の財の生産量（マイナスなら投入量）を $y_{n}$ とすると、企業 $j$ の生産計画は

y^{j} = (y_{1}^{j}, \dots, y_{N}^{j})

と表せる。

企業 $j$ の生産可能性集合を $Y^{j}$ とすると、 $y^{j}$ は集合 $Y^{j}$ の要素なので、 $y^{j} \in Y^{j}$ と書ける。

企業の利潤は生産計画yjに価格 $p$ をかけたものなので、

p y^{j} = p_{1} y_{1}^{j} + \dots + p_{N} y_{N}^{j}

となる。

利潤を最大化させるとは、 $y^{j} \in Y^{j}$ のもとで、 $p y^{j}$ を最大化させることである。完全競争においては価格 $p$ を一企業が変化させることはできないので、利潤を最大化させる生産計画は価格に依存するため、企業 $j$ の最適生産計画は、 $y^{j} (p)$ となる。

消費者

$I$ 人の消費者が存在し、 $I$ は有限な正の整数である。消費者 $i$ の $n$ 番目の財の消費量を $x_{n}^{i}$ とすると、消費者 $i$ の消費計画は

x^{i} = (x_{1}^{i}, \dots, x_{N}^{i})

と表せる。

消費者がもともと所有している財を $w$ とすると、消費者 $i$ の初期保有量は

w^{i} = (w_{1}^{i}, \dots, w_{N}^{i})

と表せる。

企業の利潤は最終的には消費者にすべて分配されるので、企業 $j$ の利潤のうち、消費者 $i$ に分配される割合を $θ_{i j}$ とすると、 $θ_{1 j} + \dots + θ_{I j} = 1$ と書ける。これはすべての企業で成り立ち、企業の最大化された利潤は $p y^{j} (p)$ なので、すべての企業からの分配は $\sum_{j = 1}^{J} θ_{i j} p y^{j} (p)$ となる。

消費者の所得あるいは支出 $p x^{i}$ は、初期保有の財からの収入と企業からの分配の和になるので、

p x^{i} = p w^{i} + \sum_{j = 1}^{J} θ_{i j} p y^{j} (p)

となり、これが予算制約式となる。

消費者は、この予算制約の下で効用を最大化させる消費計画を選ぶことが最適消費となる。この最適な消費計画は価格 $p$ に依存するので、消費者 $i$ の最適消費計画は $x^{i} (p)$ と書ける。

超過需要関数

総消費計画 $\sum_{i = 1}^{I} x^{i} (p)$ 、総生産計画 $\sum_{j = 1}^{J} y^{j} (p)$ 、総初期保有 $\sum_{i = 1}^{I} w^{i}$ を使って、第 $n$ 財の市場での需要と供給の均衡を表すと、

\sum_{i = 1}^{I} x_{n}^{i} (p) = \sum_{j = 1}^{J} y_{n}^{j} (p) + \sum_{i = 1}^{I} w_{n}^{i}

となる。

均衡状態ではこの両辺の差はゼロになるが、需要と供給のバランスが崩れた場合も考え、

z_{n} (p) = \sum_{i = 1}^{I} x_{n}^{i} (p) - \sum_{j = 1}^{J} y_{n}^{j} (p) - \sum_{i = 1}^{I} w_{n}^{i}

と書く。これは第

n

財についての超過需要関数と呼ばれ、左辺がプラスであれば、第

n

財について超過需要であり、マイナスであれば超過供給となる。つまり、すべての市場の超過需要をゼロにすることが、すべての市場を同時に均衡させる条件となる。

超過需要は財の価格に依存するので、すべての市場を同時に均衡させる価格を $p *$ とし、すべての財についての超過需要関数を $z (p) = (z_{1} (p), \dots, z_{N} (p))$ とすると、すべての市場を同時に均衡させる条件は、

z_{n} (p *) = 0

n = 1, \dots, N

となる。

この超過需要をゼロにする条件を満たすような $p *$ に価格が決定されるということは、最適消費計画 $x^{i} (p *)$ と最適生産計画 $y^{j} (p *)$ という資源配分が決定されることになる。

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