一般均衡モデル

ここでは、すべての市場は完全競争市場であり、政府部門はないものとする。


価格

市場にN種類の財が存在し、Nは有限な正の整数である。n番目の財の価格をpnとすると、市場に存在するN種類の財の価格は

p=(p1,,pN)
と表せる。

企業

市場に企業の数がJ存在し、Jは有限な正の整数である。n番目の財の生産量(マイナスなら投入量)をynとすると、企業jの生産計画は

yj=(y1j,,yNj)
と表せる。

企業jの生産可能性集合をYjとすると、yjは集合Yjの要素なので、yjYjと書ける。

企業の利潤は生産計画yjに価格pをかけたものなので、

pyj=p1y1j++pNyNj
となる。

利潤を最大化させるとは、yjYjのもとで、pyjを最大化させることである。完全競争においては価格pを一企業が変化させることはできないので、利潤を最大化させる生産計画は価格に依存するため、企業jの最適生産計画は、yj(p)となる。

消費者

I人の消費者が存在し、Iは有限な正の整数である。消費者in番目の財の消費量をxniとすると、消費者iの消費計画は

xi=(x1i,,xNi)
と表せる。

消費者がもともと所有している財をwとすると、消費者iの初期保有量は

wi=(w1i,,wNi)
と表せる。

企業の利潤は最終的には消費者にすべて分配されるので、企業jの利潤のうち、消費者iに分配される割合をθijとすると、θ1j++θIj=1と書ける。これはすべての企業で成り立ち、企業の最大化された利潤はpyj(p)なので、すべての企業からの分配はj=1Jθijpyj(p)となる。

消費者の所得あるいは支出pxiは、初期保有の財からの収入と企業からの分配の和になるので、

pxi=pwi+j=1Jθijpyj(p)
となり、これが予算制約式となる。

消費者は、この予算制約の下で効用を最大化させる消費計画を選ぶことが最適消費となる。この最適な消費計画は価格pに依存するので、消費者iの最適消費計画はxi(p)と書ける。

超過需要関数

総消費計画i=1Ixi(p)、総生産計画j=1Jyj(p)、総初期保有i=1Iwiを使って、第n財の市場での需要と供給の均衡を表すと、

i=1Ixni(p)=j=1Jynj(p)+i=1Iwni
となる。

均衡状態ではこの両辺の差はゼロになるが、需要と供給のバランスが崩れた場合も考え、

zn(p)=i=1Ixni(p)-j=1Jynj(p)-i=1Iwni
と書く。これは第n財についての超過需要関数と呼ばれ、左辺がプラスであれば、第n財について超過需要であり、マイナスであれば超過供給となる。つまり、すべての市場の超過需要をゼロにすることが、すべての市場を同時に均衡させる条件となる。

超過需要は財の価格に依存するので、すべての市場を同時に均衡させる価格をp*とし、すべての財についての超過需要関数をz(p)=(z1(p),,zN(p))とすると、すべての市場を同時に均衡させる条件は、

zn(p*)=0  n=1,,N
となる。

この超過需要をゼロにする条件を満たすようなp*に価格が決定されるということは、最適消費計画xi(p*)と最適生産計画yj(p*)という資源配分が決定されることになる。


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