ゼロ次同次性

すべての価格が同じ割合で上昇すると、企業の行動（最適生産計画）も消費者の行動（最適消費計画）も変わらない。

財の価格が他の財との比較によって成り立っていると考えれば、価格が同じ割合で上昇しても2つの財の価格の比率は変わらないので、各々の行動も変わらないということである。

企業の行動を見ると、すべての生産物と投入物の価格が $t$ 倍になったとしても、最適な生産計画 $y^{j} (p)$ は変わらないので、

y^{j} (t p) = y^{j} (p)

が成り立つ。このとき、

y^{j} (p)

はゼロ次同次関数であるという。

消費者の行動を見ると、すべての価格が $t$ 倍になったときの予算制約式は、

t p x^{i} = t p w^{i} + \sum_{j = 1}^{J} θ_{i j} t p y^{j} (t p)

となるが、企業の行動で見たように

y^{j} (t p)

は

y^{j} (p)

で置き換えられ、両辺を

t

で割ると、もとの予算制約式が得られる。つまり、すべての価格が

t

倍になったとしても予算制約は変わらず、最適な消費計画も変わらないので、

x^{i} (t p) = x^{i} (p)

が成り立ち、

x^{i} (p)

はゼロ次同次関数であるといえる。

超過需要関数が $z (p) = x (p) - y (p) - w$ であることを考えると、超過需要関数 $z (p)$ もゼロ次同次関数であり、

z (t p) = z (p)

が成り立つことがわかる。

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